综合技术

einsum满足你一切需要:深度学习中的爱因斯坦求和约定

作者:Tim Rocktäschel

编译:weakish

【编者按】FAIR研究科学家Tim Rocktäschel简要介绍了einsum表示法的概念,并通过真实例子展示了einsum的表达力。

当我和同事聊天的时候,我意识到不是所有人都了解 einsum ,我开发深度学习模型时最喜欢的函数。本文打算改变这一现状,让所有人都了解它!爱因斯坦求和约定(einsum)在numpy和TensorFlow之类的深度学习库中都有实现,感谢 Thomas Viehmann ,最近PyTorch也实现了这一函数。关于einsum的背景知识,我推荐阅读Olexa Bilaniuk的 numpy的爱因斯坦求和约定 以及Alex Riley的einsum基本指南。这两篇文章介绍了numpy中的einsum,我的这篇文章则将演示在编写优雅的PyTorch/TensorFlow模型时,einsum是多么有用(我将使用PyTorch作为例子,不过很容易就可以翻译到TensorFlow)。

1. einsum记法

如果你像我一样,发现记住PyTorch/TensorFlow中那些计算点积、外积、转置、矩阵-向量乘法、矩阵-矩阵乘法的函数名字和签名很费劲,那么einsum记法就是我们的救星。einsum记法是一个表达以上这些运算,包括复杂张量运算在内的优雅方式,基本上,可以把einsum看成一种领域特定语言。一旦你理解并能利用einsum,除了不用记忆和频繁查找特定库函数这个好处以外,你还能够更迅速地编写更加紧凑、高效的代码。而不使用einsum的时候,容易出现引入不必要的张量变形或转置运算,以及可以省略的中间张量的现象。此外,einsum这样的领域特定语言有时可以编译到高性能代码,事实上,PyTorch最近引入的能够自动生成GPU代码并为特定输入尺寸自动调整代码的张量理解(Tensor Comprehensions)就基于类似einsum的领域特定语言。此外,可以使用 opt einsumtf einsum opt 这样的项目优化einsum表达式的构造顺序。

比方说,我们想要将两个矩阵 相乘,接着计算每列的和,最终得到向量 。使用爱因斯坦求和约定,这可以表达为:


这一表达式指明了c中的每个元素 是如何计算的,列向量 乘以行向量 ,然后求和。注意,在爱因斯坦求和约定中,我们省略了求和符号Sigma,因为我们隐式地累加重复的下标(这里是k)和输出中未指明的下标(这里是i)。当然,einsum也能表达更基本的运算。比如,计算两个向量 的点积可以表达为:


在深度学习中,我经常碰到的一个问题是,变换高阶张量到向量。例如,我可能有一个张量,其中包含一个batch中的N个训练样本,每个样本是一个长度为T的K维词向量序列,我想把词向量投影到一个不同的维度Q。如果将这个张量记作 ,将投影矩阵记作 ,那么所需计算可以用einsum表达为:


最后一个例子,比方说有一个四阶张量 ,我们想要使用之前的投影矩阵将第三维投影至Q维,并累加第二维,然后转置结果中的第一维和最后一维,最终得到张量 。einsum可以非常简洁地表达这一切:


注意,我们通过交换下标n和m( 而不是 ),转置了张量构造结果。

2. Numpy、PyTorch、TensorFlow中的einsum

einsum在numpy中实现为 np.einsum ,在PyTorch中实现为 torch.einsum ,在TensorFlow中实现为 tf.einsum ,均使用一致的签名 einsum(equation, operands) ,其中 equation 是表示爱因斯坦求和约定的字符串,而 operands 则是张量序列(在numpy和TensorFlow中是变长参数列表,而在PyTorch中是列表)。例如,我们的第一个例子,cj = ∑i∑kAikBkj写成 equation 字符串就是 ik,kj -> j 。注意这里 (i, j, k) 的命名是任意的,但需要一致。

PyTorch和TensorFlow像numpy支持einsum的好处之一是einsum可以用于神经网络架构的任意计算图,并且可以反向传播。典型的einsum调用格式如下:


上式中◻是占位符,表示张量维度。上面的例子中,arg1和arg3是矩阵,arg2是二阶张量,这一einsum运算的结果(result)是矩阵。注意einsum处理的是可变数量的输入。在上面的例子中,einsum指定了三个参数之上的操作,但它同样可以用在牵涉一个参数、两个参数、三个以上参数的操作上。学习einsum的最佳途径是通过学习一些例子,所以下面我们将展示一下,在许多深度学习模型中常用的库函数,用einsum该如何表达(以PyTorch为例)。

2.1 矩阵转置


import torch
a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->ji', [a])
tensor([[ 0.,  3.],
        [ 1.,  4.],
        [ 2.,  5.]])

2.2 求和


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->', [a])
tensor(15.)

2.3 列求和


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->j', [a])
tensor([ 3.,  5.,  7.])

2.4 行求和


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij->i', [a])
tensor([  3.,  12.])

2.5 矩阵-向量相乘


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(3)
torch.einsum('ik,k->i', [a, b])
tensor([  5.,  14.])

2.6 矩阵-矩阵相乘


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(15).reshape(3, 5)
torch.einsum('ik,kj->ij', [a, b])
tensor([[  25.,   28.,   31.,   34.,   37.],
        [  70.,   82.,   94.,  106.,  118.]])

2.7 点积

向量:


a = torch.arange(3)
b = torch.arange(3,6)  # [3, 4, 5]
torch.einsum('i,i->', [a, b])
tensor(14.)

矩阵:


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(6,12).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij,ij->', [a, b])
tensor(145.)

2.8 哈达玛积


a = torch.arange(6).reshape(2, 3)
b = torch.arange(6,12).reshape(2, 3)
torch.einsum('ij,ij->ij', [a, b])
tensor([[  0.,   7.,  16.],
        [ 27.,  40.,  55.]])

2.9 外积


a = torch.arange(3)
b = torch.arange(3,7)
torch.einsum('i,j->ij', [a, b])
tensor([[  0.,   0.,   0.,   0.],
        [  3.,   4.,   5.,   6.],
        [  6.,   8.,  10.,  12.]])

2.10 batch矩阵相乘


a = torch.randn(3,2,5)
b = torch.randn(3,5,3)
torch.einsum('ijk,ikl->ijl', [a, b])
tensor([[[ 1.0886,  0.0214,  1.0690],
         [ 2.0626,  3.2655, -0.1465]],

        [[-6.9294,  0.7499,  1.2976],
         [ 4.2226, -4.5774, -4.8947]],

        [[-2.4289, -0.7804,  5.1385],
         [ 0.8003,  2.9425,  1.7338]]])

2.11 张量缩约

batch矩阵相乘是张量缩约的一个特例。比方说,我们有两个张量,一个n阶张量 ,一个m阶张量 。举例来说,我们取n = 4,m = 5,并假定 。我们可以将这两个张量在这两个维度上相乘(A张量的第2、3维度,B张量的3、5维度),最终得到一个新张量 ,如下所示:


a = torch.randn(2,3,5,7)
b = torch.randn(11,13,3,17,5)
torch.einsum('pqrs,tuqvr->pstuv', [a, b]).shape
torch.Size([2, 7, 11, 13, 17])

2.12 双线性变换

如前所述,einsum可用于超过两个张量的计算。这里举一个这方面的例子,双线性变换。


a = torch.randn(2,3)
b = torch.randn(5,3,7)
c = torch.randn(2,7)
torch.einsum('ik,jkl,il->ij', [a, b, c])
tensor([[ 3.8471,  4.7059, -3.0674, -3.2075, -5.2435],
        [-3.5961, -5.2622, -4.1195,  5.5899,  0.4632]])

3. 案例

3.1 TreeQN

我曾经在实现TreeQN( arXiv:1710.11417)的等式6时使用了einsum:给定网络层l上的低维状态表示zl,和激活a上的转换函数Wa,我们想要计算残差链接的下一层状态表示。


在实践中,我们想要高效地计算大小为B的batch中的K维状态表示 ,并同时计算所有转换函数(即,所有激活A)。我们可以将这些转换函数安排为一个张量 ,并使用einsum高效地计算下一层状态表示。

import torch.nn.functional as F

def random_tensors(shape, num=1, requires_grad=False):
  tensors = [torch.randn(shape, requires_grad=requires_grad) for i in range(0, num)]
  return tensors[0] if num == 1 else tensors

# 参数
# -- [激活数 x 隐藏层维度]
b = random_tensors([5, 3], requires_grad=True)
# -- [激活数 x 隐藏层维度 x 隐藏层维度]
W = random_tensors([5, 3, 3], requires_grad=True)

def transition(zl):
    # -- [batch大小 x 激活数 x 隐藏层维度]
    return zl.unsqueeze(1) + F.tanh(torch.einsum("bk,aki->bai", [zl, W]) + b)

# 随机取样仿造输入
# -- [batch大小 x 隐藏层维度]
zl = random_tensors([2, 3])

transition(zl)

3.2 注意力

让我们再看一个使用einsum的真实例子,实现注意力机制的等式11-13(arXiv:1509.06664):


用传统写法实现这些可要费不少力气,特别是考虑batch实现。einsum是我们的救星!

# 参数
# -- [隐藏层维度]
bM, br, w = random_tensors([7], num=3, requires_grad=True)
# -- [隐藏层维度 x 隐藏层维度]
WY, Wh, Wr, Wt = random_tensors([7, 7], num=4, requires_grad=True)

# 注意力机制的单次应用
def attention(Y, ht, rt1):
    # -- [batch大小 x 隐藏层维度]
    tmp = torch.einsum("ik,kl->il", [ht, Wh]) + torch.einsum("ik,kl->il", [rt1, Wr])
    Mt = F.tanh(torch.einsum("ijk,kl->ijl", [Y, WY]) + tmp.unsqueeze(1).expand_as(Y) + bM)
    # -- [batch大小 x 序列长度]
    at = F.softmax(torch.einsum("ijk,k->ij", [Mt, w]))
    # -- [batch大小 x 隐藏层维度]
    rt = torch.einsum("ijk,ij->ik", [Y, at]) + F.tanh(torch.einsum("ij,jk->ik", [rt1, Wt]) + br)
    # -- [batch大小 x 隐藏层维度], [batch大小 x 序列维度]
    return rt, at

# 取样仿造输入
# -- [batch大小 x 序列长度 x 隐藏层维度]
Y = random_tensors([3, 5, 7])
# -- [batch大小 x 隐藏层维度]
ht, rt1 = random_tensors([3, 7], num=2)

rt, at = attention(Y, ht, rt1)

4. 总结

einsum是 一个函数走天下 ,是处理各种张量操作的瑞士军刀。话虽如此,“einsum满足你一切需要”显然夸大其词了。从上面的真实用例可以看到,我们仍然需要在einsum之外应用非线性和构造额外维度( unsqueeze )。类似地,分割、连接、索引张量仍然需要应用其他库函数。

使用einsum的麻烦之处是你需要手动实例化参数,操心它们的初始化,并在模型中注册这些参数。不过我仍然强烈建议你在实现模型时,考虑下有哪些情况适合使用einsum.

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